目录

    1. Koch曲线

    瑞典数学家Helge von Koch,在1904年发表的“从初等几何构造的一条没有切线的连续曲线”的论文中提出Korch曲线。它的描述如下:

    1. 指定一条线段的长度\(l\)(可以理解为第0次迭代)
    2. 将这条线段三等分,并以中间的线段为底边构造一个等边三角形,然后去掉底边
    3. 对2中生成的曲线的每一条边重复2的操作(每操作一次称为一次迭代)

    最终得到的集合图形长度为:$$L=l*(\frac{4}{3})^{N}$$,其中的N指的是迭代次数。

    1.2 绘制方法:

    1. 如果N=0,直接画出L长的直线即可
    2. 如果N=1(第一次迭代),画出长度为L/3的线段;画笔向左转60度再画长度为L/3长的线段;画笔向右转120度画长度为L/3长的线段;画笔再向左转60度画出长度为L/3的线段

    1. 如果n>1,第n次迭代相当于:n-1次迭代;画笔左转60度;n-1次迭代;画笔右转120度;n-1次迭代;画笔左转60度;n-1次迭代。

    1.3 Python代码实现

    # -*- coding: utf-8 -*-
    import turtle
    
    Division = 3.0 
    DirectionAangle = [('left',60),('right',120),('left',60)]
    
    def call(name):
        if name == 'left':
            return turtle.left
        else:
            return turtle.right
    
    def koch(n, length):
        if n==0:
            turtle.forward(length)   
        else:
            for DA in DirectionAangle:
                koch(n-1,length/Division)
                call(DA[0])(DA[1])
            koch(n-1,length/Division)   
    
    koch(n=2, length=100)
    turtle.done()        
    

    1.4 绘制的图形

    下面分别是n=3, length=300和n=4, length=400生成的Koch曲线

    2. Julia集

    2.1 绘制方法

    在上一篇博文中提到过,点击前往

    1. 设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K.这里需要注意的是c的模总是小于2。可以证明当c的模大于2时,进行迭代必将发散到无穷。
    2. 设定区域的界值 \( M\ge max(2,\sqrt{p^2+q^2}) \)
    3. 将区域\(R=[-M,M]\times[-M,M]\)分成\(a\times b\)的网格,分别以每个网格点为初值(\(x_0,y_0\))。利用上面替换之后的公式做迭代。如果对\(n \le N\)所有的都有\({x_n}^2+{y_n}^2\le M^2 \),则将象素\((i, j)\)置为这一种颜色。如果从某一步 n 开始\({x_n}^2+{y_n}^2\ge M^2 \),则将象素 \((i, j)\)置为不同颜色。

    2.2 Python代码实现

    # -*- coding: utf-8 -*-
    
    import matplotlib.pyplot as plot
    import numpy as np
    p=0.45 #初始值c的实部
    q=-0.1428 #初始值c的虚部
    N=800 #最大迭代次数
    M=100 #迭代区域的界值
    a=3.0 #绘制图的横轴大小
    b=3.0 #绘制图的纵轴大小
    step=0.005 #绘制点的步长
    
    def iterate(z,N,M):
        z=z*z+c
        for i in xrange(N):
            if abs(z)>M:
                return i
            z=z*z+c
        return N
    
    c=p+q*1j
    i=np.arange(-a/2.0,a/2.0,step)
    j=np.arange(b/2.0,-b/2.0,-step)
    I,J=np.meshgrid(i, j)
    ufunc=np.frompyfunc(iterate,3,1)
    Z=ufunc(I+1j*J,N,M).astype(np.float)
    plot.imshow(Z,extent=(-a/2.0,a/2.0,-b/2,b/2.0))
    cb = plot.colorbar(orientation='vertical',shrink=1)
    cb.set_label('iteration counts')
    plot.show()
    

    2.3 绘制的图形

    参数:p=0.285 q=0.01 N=200 M=100 a=2.0 b=2.0 step=0.005 (左图)

    参数:p=0.45 q=-0.1428 N=200 M=100 a=2.0 b=2.0 step=0.005 (右图)

    还有其他的初始c值可以绘制出十分漂亮的图案,例如:

    c = -0.70176+-0.3842j c = -0.835+-0.2321j c = -0.8+0.156j c = 0.285

    3. Mandelbrot集

    数学定义: $$f_c(z) = z^2+c$$

    Mandelbrot集是\(f_c(z)\)在z=0,关于复数c=x+yi的函数迭代不发散序列集合。

    绘制Mandelbrot集最简单的方法是使用逃逸时间进行绘制。逃逸时间指的是,在指定范围M进行有限次数N迭代,而不超出M区域的次数。使用不同的颜色绘制不同的迭代次数。

    1. 设置迭代的最多次数,N
    2. 设置初始化\(z_0\)的值,
    3. 设置逃逸半径R的值,通常为2

    3.1 绘制方法

    3.2 Python实现

    # -*- coding: utf-8 -*-
    
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plot 
    
    x0=0 #初始值z0的x0
    y0=0 #初始值z0的y0
    zoom=1.0 #放大倍率
    N=100 #最大迭代次数
    R=2 #迭代半径
    a=4.0 #绘制图的横轴大小
    b=3.0 #绘制图的纵轴大小
    step=0.005 #绘制点的步长
    
    def iterate(c,N,R):
        z=c
        for i in xrange(N):
            if abs(z)>R: 
                return i
            z = z*z+c
        return N
    
    x=np.arange(-a/(2.0*zoom)+x0,a/(2.0*zoom)+x0,step)
    y=np.arange(b/(2.0*zoom)+y0,-b/(2.0*zoom)+y0,-step)
    cx,cy=np.meshgrid(x, y)
    c = cx + cy*1j
    ufunc=np.frompyfunc(iterate,3,1)
    Z=ufunc(c,N,R).astype(np.float)
    plot.imshow(Z,extent=(-a/2.0,a/2.0,-b/2,b/2.0))
    cb = plot.colorbar(orientation='vertical',shrink=1)
    cb.set_label('iteration counts')
    plot.show()
    

    3.3 绘制的图形

    图中是使用参数:x0=0 y0=0 zoom=1.0 N=100 R=2 a=4.0 b=3.0 step=0.005。生成的图像。不同的是,它们依次使用的是二次、三次幂的迭代。

    最后,还可以使用ImageMagick工具,将生成的图像制作成一个动态GIF。

    convert *.png  out.gif